由于实验中两相邻拉格朗日点的实际距离较大，若采用常规方法进行计算，其误差会非常大。因此，本实验需要使用路径线法进行帮助。路径线法的原理是，先将不同拉格朗日点的参数曲线上反映相似物理过程的曲线段划分成多个单独的区域，随后在区域内连接不同拉格朗日点上具有相似特性的点，称为路径线。这样，各条路径线上的点沿路径线方向的全微分都是容易表示的，具体如下：

于是上述沿拉格朗日点方向的偏微分，可以通过路径线上的偏微分与沿时间方向的偏微分共同表示。其表达式如下：

实验结果分析

结合上述方法，对准静态压缩实验和平面撞击实验所得的数据进行处理，并分析不同应变率条件下，孔隙率、孔径等因素对材料力学性能和应力波衰减的影响。

准静态压缩实验

针对AF、AFPU进行分析，其准静态压缩应力应变曲线如图5所示。由图5（a）可知，孔隙率为65%条件下，对AF和AFPU，应力曲线及平台从高到低都是孔径～1 mm＞孔径～2 mm＞孔径～0.5 mm。这一现象与其他文献中常见的情况有所不同，初步分析其原因是同等孔隙率时孔径～0.5 mm的孔数最多、～2 mm的胞孔最大，在压缩时更容易坍塌。后续将开展研究，针对该现象做进一步实验。由图5（b）可知，当孔隙率达到75%时，其应力曲线及平台低于65%，这是因为孔隙率越大，内部支撑越小。

a) 不同孔径下两种材料的应力-应变

a) Stress-strain curves of two materials under varying pore sizes

b) 不同孔隙率下两种材料的应力-应变

b) Stress-strain curves of two materials under different porosity levels

图5孔径和孔隙率对两种材料应力-应变的影响

Fig.5 Effects of pore size and porosity on stress-strain behavior of two materials

进一步分析，两种材料的准静态吸收功曲线如图6所示。从图6（a）和图6（b）可以看出，对于等体积的AF和AFPU两种材料，都是孔径～1.0 mm、孔隙率65%时吸收功最大；在实验的孔径、孔隙率范围内，相较于孔径～1.0 mm、孔隙率65%，不论是孔径的变化，还是孔隙率的增大，都会导致材料的吸收功降低。但是，若是考虑单位质量材料的吸收功，从图6（c）可以看出，孔隙率75%的材料吸收功反而高于65%的，这一趋势与单位体积下吸收功的情况恰恰相反。

a) 不同孔径下两种材料的吸收功

a) Energy absorption of two materials under varying pore sizes

b) 不同孔隙率下两种材料的吸收功

b) Energy absorption of two materials under different porosity levels

c) 孔隙率对单位质量材料吸收功的影响

c) Effect of porosity on specific energy absorption of materials

图6 孔径和孔隙率对两种材料吸收功的影响

Fig.6 Effect of pore size and porosity on energy absorption of two materials

均匀介质平面撞击实验

经过计算可以得到表3中C1~C5组试样的应力-时间曲线。第C1、C2组的铝靶板和铜靶板均为2层靶板，情况也较为类似。对铝靶板而言，各层应力峰值分别为3662 MPa、3624 MPa，单质铝对该速度下的冲击载荷不具备衰减作用。各层曲线上升沿与下降沿的斜率都很大，曲线顶部则相对水平，应力从0 MPa上升至水平线的跳跃时间很短，较为接近理想中的突变情况，这些现象都是冲击波较强、波速较高的体现。根据两层之间的上升沿时间间隔1.56 μs，可计算出冲击波的传播速度为5276 m/ s。对于铜靶板，两层的应力峰值依次为5497 MPa，5264 MPa，波形历程曲线与铝类似，都具有较大斜率的上升沿和下降沿、较为水平的顶部。两层之间的上升沿时间间隔为2.22 μs，计算得到波速为3586 m/s。

a) 铝靶板

a) Aluminum target plate

b) 铜靶板

b) Copper target plate

图7 铝和铜靶板应力-时间

Fig.7 Stress-time curves of the 2-layer aluminum and copper

第C3、C4组为有机玻璃靶板。从峰值上看，2层有机玻璃的应力幅值降幅约4.3%，这表明有机玻璃对实验碰撞速度下的冲击载荷有着微弱的衰减性能。两层之间的上升沿时间差约为2.26 μs，根据表中两层的厚度，可以计算出冲击波在两层内传播的平均速度为3093 m/s。4层有机玻璃间的总体应力幅值变化量仅为7.3%。4层上升沿的时间间隔依次为2.64 μs、2.7 μs、2.76 μs，增量极小，可以认为时间间隔基本相等。由此可以计算出冲击波在4层之间传播的平均速度分别为3030 m/s、2959 m/s、2895 m/s，各层波速存在缓慢衰减，但与应力幅值一样衰减量较少，仅为4.5%。

a) 2层有机玻璃靶板

a) Two-Layer PMMA Target Plate

b) 4层有机玻璃靶板

b) Four-Layer PMMA Target Plate

图8 有机玻璃靶板的应力-时间曲线

Fig.8 Stress-time curve of PMMA target plate

C5组是聚氨酯靶板，4层曲线的峰值依次为3264 MPa、3216 MPa、3180 MPa、3132 MPa，各层之间的上升沿间隔依次为3.64 μs、3.78 μs、3.82 μs，各层之间冲击波平均传播速度依次为2835 m/ s、2786 m/ s、2670 m/ s，衰减幅度约为5.8%。4条曲线的上升沿斜率都很大，但在达到峰值附近后的变化过程较为特别，峰值附近的曲线既不是和铝或铜一样的水平顶部，又不与有机玻璃一般有较大弧度，而是处于介于二者之间的形状；原因是聚氨酯与金属不同，是一种弹性极佳的有机材料，阻抗远小于铝、铜等常规金属；实验中聚氨酯靶板使用的是铝制的撞击板，产生较强的冲击波，传播过程中进入了阻抗不高的聚氨酯材料中，发生了一定程度的衰减。

图9 4层聚氨酯靶板的应力时间曲线

Fig.9 Stress-time curve of four-layered polyurethane target plates

泡沫铝平面撞击实验

泡沫铝平面撞击实验结果如图10所示，第1组的第4层传感器失效，第2组在冲击过程中第2层传感器失效，未能测到压力，第3组后两层的4个传感器均发生失效。

a)孔径0.5 mm

a) Pore size 0.5 mm

b) 孔径1 mm

b) Pore size 1 mm

c) 孔径2mm

c) Pore size 2 mm

图10 不同孔径泡沫铝板的应力-时间

Fig.10 Stress-time curves of foamed aluminum plates with different pore sizes

在实验中高应变率平面撞击下，相对于铝、铜、有机玻璃、聚氨酯材料，泡沫铝具有明显的应力衰减特性。3组数据第1层的波形曲线都具有相似的特点，即应力迅速上升达到最大值后，又迅速下降至一个较低的水平，随后发生一定的振荡，而不是与上述均质材料一样，在到达最大值后维持一个时间段直至卸载。这一现象的原因为，泡沫铝在冲击波压缩作用下，内部孔洞结构在不断发生相互作用和挤压变形，实测获得的应力历程会有较为复杂的振荡现象。

第1组实验的对称碰撞速度和压力不高，第2层应力历程曲线就与第一层有较大差别，更加类似于均质材料的变化过程。这可以认为是泡沫铝材料的衰减作用体现之后，冲击波的应力幅值沿着传播方向迅速减小，到达第2层时便不再是以强间断波形式前进，而是衰减为了普通应力波。在常规情况下，泡沫铝内部的结构变化作用变得微弱，这使得传感器测得的应力变化更贴近常规均质材料。

第2组和第3组的撞击速度和压力相近。第2组第2层的传感器失效，第1层传感器的信号也表明其很可能在到达峰值后也出现了异常，冲击波到达第3层时幅值已经下降至了普通应力波的水平。第3组则是后两层传感器发生了失效，但从前两层所得到的数据可以看出，第2层的波形也是与第一层相似的变化规律。这表明，在该撞击压力下，泡沫铝的衰减作用并不能在第2层就将冲击波弱化为普通应力波。

第4~第6组的数据结果如图11所示，这3组均为泡沫铝-聚氨酯复合材料。3组材料的应力曲线形状均较为相似，第1层与泡沫铝材料的第一层规律类似，而后几层的曲线形状逐渐类似常规均质材料，表明冲击波经过衰减变为为普通应力波。这三组数据还表现出一个新的现象，即各层的应力在一定时间的振荡后都会趋于一个稳定的数值，而不是直接卸载归零。前3组泡沫铝材料中也存在类似的现象，但由于未能记录到完整数据，无法进行进一步的判断。这一现象的可能解释为，泡沫铝-聚氨酯复合材料的内部结构相互作用会在达到一定程度后结束，于是材料内部的应力最终达到平衡不再变化。

a) 孔径0.5 mm

a) Pore size 0.5 mm

b) 孔径1 mm

b) Pore size 1 mm

c) 孔径2 mm

c) Pore size 2 mm

图11 不同孔径泡沫铝-聚氨酯板的应力-时间

Fig.11 Stress-time curves of aluminum foam-polyurethane plates with different pore sizes

计算6组材料的应力幅值变化和应力波波速变化情况，结果如表3和表4所示。但对于波速的衰减能力，实验范围内的泡沫铝-聚氨酯复合材料则略弱于泡沫铝材料。尤其是第1~第2层的波速，泡沫铝的衰减效果比泡沫铝-聚氨酯复合材料的效率高很多。对比第3组和第6组的数据，第1~第2层泡沫铝中的波速仅为泡沫铝-聚氨酯复合材料的73%。对比第2组和第8组的数据，计算第1~第3层的波速均值，泡沫铝也仅为泡沫铝-聚氨酯复合材料的78%。这是由于AF材料属于多孔材质，应力波经过AF时，应力波发生弥散，导致波速下降，而AFPU结构里面多孔结构消失，应力波弥散效应减弱，从而波速相对AF结构较高。

表3 AF和AFPU各层波速变化

Table 3 The wave velocity of AF and AFPU layers

表4 AF和AFPU各层应力幅值和衰减

Table 4 Stress amplitude and attenuation of AF and AFPU layers

对比分析，不同孔径AFPU材质应力衰减如表所示，孔径为1 mm时衰减效果最明显。这归因于1 mm孔径AFPU的应力较高，吸收功较高，在平面撞击过程中有利于应力波衰减。

随后，将第3层和第4层靶板的应力-时间曲线作为输入，使用拉格朗日分析法进行进一步处理，可以得到实验各测量点的应力-应变关系。第4~第6组泡沫铝-聚氨酯复合材料的处理结果如图12所示。

a) 孔径0.5 mm的应变率-时间曲线和应力-应变曲线

a) Strain rate-time and stress-strain curves with 0.5 mm aperture

b) 孔径1 mm的应变率-时间曲线和应力-应变曲线

b) Strain rate-time and stress-strain curves with 1 mm aperture

c) 孔径2 mm的应变率-时间曲线和应力-应变曲线

c) Strain rate-time and stress-strain curves with 2 mm aperture

图12 不同孔径下泡沫铝-聚氨酯材料的应变率-时间曲线和应力-应变曲线

Fig.12 Strain rate-time and stress-strain curves of aluminum foam-polyurethane materials with different pore sizes

图12中0.5 mm孔径的泡沫铝-聚氨酯复合材料表现出较弱的应变率衰减特性。这一现象可能源于实验误差，在撞击过程中，由于冲击平面间平行度不足，导致测量过程中混入了横波分量，从而使得测得的应变率衰减效果出现偏差，仅表现出微弱衰减特性。其他两种孔径的衰减效果都十分明显，应变率的幅值随着层数几乎线性递减，1.0 mm孔径材料第3层的应变率仅为第1层的19%，2.0 mm孔径材料第4层的应变率也仅为第1层的20%。3种孔径下的材料应力-应变曲线，其斜率都随着层数大幅减小，表明每经过一层，材料的应变率效应都在大幅减弱。综合而言，在所选择的3种孔径中，1.0 mm孔径的材料，各层的斜率最小，意味着该孔径下的载荷衰减性能最好。

在300~500 m/ s撞击速度的高应变率下，65%隙率、2.0 mm孔径的泡沫铝-聚氨酯复合材料及泡沫铝材料均表现出显著的冲击衰减特性，这一特性是一般均质材料所不具备的。均质材料对冲击载荷的衰减作用微弱，冲击波传递过程基本匀速。有机玻璃和聚氨酯材料对应变率的衰减作用也较弱，各层应力-应变曲线变化不明显。而泡沫金属材料能显著减小冲击波传递到后层靶板时的应力幅值，同时降低应力波波速，有效保护后方目标。由表4的计算结果可知，厚度约为10 mm的泡沫铝-聚氨酯复合材料即可让500 m/ s撞击速度下的碰撞应力幅值衰减50%以上。对比两种泡沫金属材料，泡沫铝-聚氨酯复合材料有着更加优秀的应力幅值衰减能力，而泡沫铝材料则具有更好的波速衰减能力。这一对比结果为针对不同防护需求下的材料选择提供了明确依据。作为缓冲吸能材料，泡沫铝-聚氨酯复合材料在冲击波应力幅值衰减方面表现出更为优异的性能，这与文献[18-21]的研究结论类似，并进一步证实了其在动态冲击下的独特优势。然而该材料在波速衰减方面可能存在一定的局限性，即无法实现波速的迅速衰减，这一潜在问题仍需进一步研究和优化。此外，对比其他孔径的材料，1.0 mm孔径的材料也展现出了更加优秀的冲击衰减性能。不论是波速还是应力幅值，都更优于其他两种孔径。

分析与讨论

在拉格朗日分析法处理泡沫铝-聚氨酯复合材料的结果中，曲线斜率最大的第1层，其斜率换算为模量约为6.5 ~ 11 GPa，这一数值与铝单质发生塑性压缩变形时的模量相近。平面撞击实验所得的应力-应变关系是各层传感器附近材料的相互作用过程体现，是相对更加直接的材料性能表征。因此，这分析结果可以说明，泡沫金属材料受到冲击载荷作用后，微小区域内的材料的压缩变化过程是遵循均质材料本构变化规律的。也就是说，泡沫金属材料的宏观应力-应变曲线是金属单质性能与泡沫结构共同作用的结果，而平台阶段的形成主要是泡沫金属材料的孔洞结构起到了主要作用。

进一步，从材料本质的角度分析AFPU与 AF的性能差异现象，其机制可归纳为以下两方面：

聚氨酯-泡沫铝复合材料中聚氨酯增强体的引入显著提升了材料的能量吸收性能。聚氨酯的弹性使其能够有效耗散冲击能量，从而导致应力波幅值的显著降低。

由于聚氨酯的声阻抗远高于空气介质，在材料中取代空气后，冲击波在第1层材料中的受到的阻碍相对减小。然而，随着冲击波在材料中的持续传播，其能量不断耗散，导致后续层中冲击波的波速呈现明显下降趋势。

综上所述，泡沫金属材料在冲击载荷下的压缩过程遵循均质材料本构关系，其冲击力学性能与均质材料相似。在宏观尺度上，其独特的应力-应变平台行为主要源于多孔结构特性。因此，泡沫金属材料的宏观力学行为是金属基体性能与多孔结构特征协同作用的结果。本文通过细致的实验对比和深入分析，明确了孔径尺寸和基体类型对冲击衰减性能的关键影响，揭示了泡沫铝-聚氨酯复合材料在应力幅值衰减方面的显著优势及其内在黏弹性耗散机制。研究结论能够为冲击防护与能量吸收材料的深入研究提供了要的实验依据和理论支撑。

结论

本文通过对泡沫铝和泡沫铝聚氨酯复合材料在不同应变率下的压缩性能及冲击衰减特性的系统研究，得出以下主要结论：

）65~75%孔隙率、0.5~2.0mm孔径的泡沫铝-聚氨酯复合材料与泡沫铝材料，其压缩性能受孔隙率和孔径等多因素影响，其中孔隙率是主导因素。在实验参数范围内，提高孔隙率会减小平台应力和单位体积吸收功，但会显著降低单位质量吸能效率。孔径的影响相对较小，其中～1.0mm孔径的材料在中低应变率下的综合性能相对更为优秀。此外，泡沫铝-聚氨酯复合材料在各项压缩性能指标上均优于同参数的泡沫铝材料。

）65%孔隙率、0.5~2.0mm孔径的泡沫铝-聚氨酯复合材料与泡沫铝材料，均可在高速冲击下表现出显著的冲击衰减特性，有效降低后方应力幅值和波速。其中，泡沫铝-聚氨酯复合材料的应力幅值衰减能力更优，而泡沫铝材料的波速衰减效果更好。泡沫铝-聚氨酯复合材料对应变率有着很明显的衰减作用，可使第3、4层应变率降至第1层的20%左右。研究表明，孔径参数对材料的冲击衰减性能影响相对较小。在实验所涉及的参数范围内，～1.0mm孔径的泡沫铝-聚氨酯复合材料表现出最优的冲击衰减特性。

）对泡沫金属材料的冲击压缩过程进行了一定分析。泡沫金属材料的宏观应力-应变曲线是一种基于材料整体力学性能的宏观测量结果，而材料内部结构的具体应力变化，并不会体现出这种宏观上的应力-应变关系。在受到冲击载荷作用后，泡沫金属材料内部的孔洞结构不断发生相互作用、互相挤压变形，应力传播会有较为复杂的振荡现象，但这一变化过程是符合基体材料的本构变化规律的。泡沫金属材料的宏观应力-应变曲线是基体的金属性能与孔洞结构共同作用的结果。

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